Guía docente de Formas y Curvatura (M37/56/2/1)

1. Integración en variedades Riemannianas.
2. Geometría Riemanniana global.
3. Ecuaciones elípticas sobre variedades.

Además de los requisitos de acceso al máster, se recomienda encarecidamente tener conocimientos sobre Variedades Diferenciables y Geometría Riemanniana, incluyendo el teorema de clasificación de variedades con curvatura seccional constante. Más concretamente, los estudiantes deberán poseer conocimientos suficientes sobre variedades Riemannianas, como curvatura, geodésicas, aplicación exponencial, completitud, teorema de Hopf-Rinow, campos de Jacobi y puntos conjugados. Es muy conveniente haber cursado la asignatura “Geometría Diferencial Avanzada”.

Introducir al alumno en una parte representativa de la Geometría Riemanniana global que se ha venido desarrollando en las últimas décadas, lo que implicará que éste aprenda herramientas tan poderosas como el cálculo de variaciones, la teoría de integración de Lebesgue, las coordenadas polares geodésicas o los espacios de Sobolev sobre una variedad Riemanniana.

1. Lugar de corte de una variedad Riemanniana (cut locus in a Riemannian manifold).
2. Introducción a la integración (introduction to integration).
3. Teorema de la divergencia (divergence theorem).
4. Técnica de Bochner (Bochner technique).
5. Integración en polares (integration in polar coordinates).
6. Teorema de Alexandrov para la curvatura media generalizada vía integración (Alexandrov theorem for the higher order mean curvatures using integration).
7. Fórmulas del área y coárea. Aplicaciones (Area and coarea formulas).
8. Espacios de Sobolev (Sobolev spaces in Riemannian manifolds).
9. Resolución de ecuaciones elípticas sobre variedades Riemannianas (Linear elliptic PDEs of second order).

1. M. P. do Carmo, Riemannian Geometry, Birkhäuser (1992).
2. J. Pérez, Notas sobre Geometría Riemanniana Global, (2000).
3. V.M. Spivak, A comprehensive introduction to Differential Geometry, Publish or Perish Inc., Boston, vol. 1 y 2 (1970), vol. 3,4 y 5 (1975).

1. Chavel, Riemannian Geometry: a modern introduction, Cambridge tracts in Mathematics 108, Cambridge University Press (1993).
2. S. Y. Cheng, Eigenvalues and eigenfunctions of the Laplacian, Am. Math. Soc. Proc. Symp. Pure Math. 27:II (1975) 185–193.
3. D. Gilbarg & N. S. Trudinger, Elliptic Partial Differential Equations of Second Order (2nd ed.), A series of comprehensive studies in Mathematics 224, Springer-Verlag (1983).
4. M. de Guzmán & B. Rubio, Integración: teoría y técnicas, Alhambra, Madrid (1979).
5. V.P. Mijailov, Ecuaciones en derivadas parciales, Mir, Moscú (1978).

La convocatoria ordinaria estará basada preferentemente en la evaluación continua del estudiante, excepto para quienes se les haya reconocido el derecho a la evaluación única final.

1. La evaluación de los estudiantes se llevará a cabo mediante ejercicios y/o trabajos que cada estudiante tendrá que resolver usando lo aprendido en el curso. Para ello contará con un tiempo razonable (usualmente varias semanas). En caso de dudas sobre la autoría o asimilación correcta del trabajo entregado, se podrá requerir al estudiante la defensa oral (presencial o telemáticamente) de dichos ejercicios y/o trabajos.
2. Para aquellos alumnos que hayan faltado por lo menos a 5 sesiones del curso, el método de evaluación consistirá en una prueba escrita con cuestiones teóricas y prácticas sobre los contenidos del curso.

Tal y como establece la normativa al respecto, los estudiantes que no hayan superado la asignatura en la convocatoria ordinaria dispondrán de una convocatoria extraordinaria. A ella podrán concurrir todos los estudiantes, con independencia de haber seguido o no un proceso de evaluación continua. De esta forma, el estudiante que no haya realizado la evaluación continua tendrá la posibilidad de obtener el 100% de la calificación mediante la realización de una prueba y/o trabajo.

Atendiendo a la normativa vigente sobre evaluación y calificación de los estudiantes de la universidad en la que el estudiante esté matriculado, el alumno que no pueda cumplir con el método de evaluación continua por motivos justificados estipulados en su universidad, que le impida seguir el régimen de evaluación continua, podrá acogerse a una evaluación única final.

Para acogerse a la evaluación única final, el estudiante, en las dos primeras semanas de impartición de la asignatura o en las dos semanas siguientes a su matriculación si ésta se ha producido con posterioridad al inicio de las clases, lo solicitará, a través del procedimiento electrónico, a la Coordinación del Máster, quien dará traslado al profesorado correspondiente, alegando y acreditando las razones que le asisten para no poder seguir el sistema de evaluación continua.

La evaluación en tal caso consistirá en un examen que se dividirá en los siguientes apartados:

1. Prueba escrita, del mismo temario teórico que el resto de sus compañeros.
2. Prueba escrita del temario práctico.